REVISTA CIENTÍFICA
rcientica@uisrael.edu.ec
• e-ISSN: 2631 - 2786
31
REVISTA CIENTÍFICA UISRAEL
QUITO-ECUADOR
2025
Período Mayo - Agosto 2025
Vol. 12, No. 2
Aprendizaje de áreas con integrales dobles usando GeoGebra: Un
estudio en alumnos de maestría en educación matemática
Learning of areas with double integrals using GeoGebra: A study of
master’s students in mathematics education.
Fecha de recepción: 2024-05-27 Fecha de aceptación: 2024-11-20 Fecha de publicación: 2025-05-10
Marco Antonio Ayala Chauvin
1
Universidad Técnica Particular de Loja, UTPL, Ecuador
maayala5@utpl.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-0084-6773
Richard Leonardo Luna Romero
2
Ministerio de Educación del Ecuador, MINEDUC, Ecuador
richard.luna@educacion.gob.ec
https://orcid.org/0009-0008-8832-7898
Resumen
El propósito fundamental de esta investigación fue evaluar el impacto de la enseñanza del cálculo
de áreas a través del uso de Integrales Dobles mediante GeoGebra en los estudiantes inscritos
en el curso de Análisis Geométrico y Trigonométrico dentro de la Maestría en Educación mención
Enseñanza de la Matemática de la Universidad Técnica Particular de Loja. Desde esta perspectiva, el
enfoque de la investigación se enmarcó en el paradigma positivista y adoptó un enfoque cuantitativo
de carácter descriptivo correlacional. La muestra se seleccionó de 70 estudiantes, distribuidos en
dos grupos, 35 estudiantes para el grupo experimental y 35 para el de control. Se implementó una
secuencia de estudio para aplicar una representación geométrica dinámica del concepto de Integral
Doble mediante la parametrización de curvas y supercies en GeoGebra, lo que permitió visualizar
https://doi.org/10.35290/rcui.v12n2.2025.1297
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geométrica y calcular áreas generadas. Como resultado, se observó una mejora signicativa en la
comprensión geométrica de la Integral Doble por parte de los estudiantes con respecto al cálculo de
áreas en regiones planas.
Palabras clave: áreas, integrales dobles, GeoGebra, rendimiento académico
Abstract
The main purpose of this research was to evaluate the impact of the teaching of area calculation
using Double Integrals using GeoGebra in students enrolled during Geometric and Trigonometric
Analysis within the master’s degree in education, mention in Mathematics Teaching, at the
Universidad Técnica Particular de Loja. From this perspective, the research approach was framed in
the positivist paradigm and adopted a quantitative approach of descriptive correlational character.
The sample was selected from a population of 70 students, who were distributed in two groups, 35
students for the experimental group and 35 for the control group. A study sequence was implemented
with the purpose of applying a dynamic geometric representation of the concept of Double Integral
through the parameterization of curves and surfaces in GeoGebra, which allowed geometric
visualization and calculation of generated areas. As a result, a signicant improvement was observed
in the geometric understanding of the Double Integral by the students with respect to the calculation
of areas in at regions..
Keywords: areas, double integrals, GeoGebra, academic performance
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APRENDIZAJE DE ÁREAS CON INTEGRALES DOBLES USANDO GEOGEBRA: UN ESTUDIO EN ALUMNOS DE
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Introducción
El cálculo integral de funciones de una o más variables suele considerarse por los estudiantes
tanto a nivel de pregrado y posgrado como uno de los temas más complejos dentro de los cursos
de matemática (Pino et al., 2018), debido a que no es suciente con seguir procedimientos
algebraicos para calcular correctamente el resultado de una integral, sino que es fundamental la
comprensión del signicado geométrico del objeto matemático.
Con frecuencia, los estudiantes universitarios de los primeros semestres que cursan materias
relacionadas con la matemática responden a los contenidos abstractos de manera memorística
resolviendo los ejercicios mecánicamente, olvidando lo importante que es ahondar en los
conceptos que encierran los temas en cuestión.
Dada la naturaleza abstracta del cálculo, resulta fundamental el uso de herramientas
computacionales, como GeoGebra, en la enseñanza de integrales dobles. En los enfoques
tradicionales, los grácos matemáticos son representados de forma estática, usualmente trazados
en la pizarra o en papel, lo que limita la interacción dinámica con las representaciones geométricas
de las regiones de integración. Esta restricción impide una visualización más precisa y manipulable
de los objetos matemáticos, afectando negativamente la comprensión profunda de conceptos
como el cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales múltiples (Dahl etal., 2019).
La desconexión entre la geometría y el álgebra en el estudio de objetos matemáticos genera
que los estudiantes con menor habilidad en el pensamiento abstracto se pierdan en un entorno
dominado por fórmulas y ecuaciones, que son aplicadas de manera mecánica sin considerar su
interpretación geométrica (Baena, 2020). Como resultado, los estudiantes tienden a memorizar
ejercicios comunes, enfrentando dicultades cuando se les presentan problemas que requieren una
mayor comprensión lógica y espacial. Esta situación se debe a que no profundizan lo suciente en
la representación geométrica del objeto matemático, lo cual limita su capacidad para continuar con
un análisis riguroso y completo. (Quintilla y Fernández, 2021).
Según Duval (2006), siempre hay que pasar de un registro semiótico a otro al objeto matemático
estudiado, pues si el estudiante solo se mantiene en un registro, por ejemplo, el algebraico, no
logrará interpretarlo geométricamente. Del mismo modo opinan Svensson y Campos (2022),
al indicar que es fundamental que el estudiante pueda moverse de un registro a otro, lo cual le
permitirá reconocer con mayor agilidad cada registro que represente al objeto matemático.
El uso de herramientas tecnológicas, como GeoGebra, resulta fundamental para la conversión entre
diferentes registros de representación semiótica. Este software permite el estudio de diversos
objetos matemáticos y facilita al usuario la transición entre el registro algebraico y el registro
gráco, y viceversa. GeoGebra, desarrollado en 2002 por Markus Hohenwarter como parte de su
tesis de maestría en la Universidad de Salzburgo, Austria (Arteaga et al., 2019), se ha consolidado
desde su inicio como un software de código abierto, destacándose por su accesibilidad y facilidad
de uso.
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Según Ortiz (2019), el uso de GeoGebra en estudiantes universitarios tiene un impacto signicativo
en su capacidad para comprender ejercicios relacionados con la representación de regiones y el
cálculo de volúmenes. De manera similar, León (2021) señala que la incorporación de la realidad
aumentada con GeoGebra en el proceso de aprendizaje de la geometría espacial genera un efecto
positivo en los estudiantes de primaria. Por último, Narh y Sabtiwu (2022) destacan que el uso
de GeoGebra en la enseñanza y aprendizaje de la geometría produce una mejora notable en las
calicaciones y el interés tanto de estudiantes de educación matemática como de profesores,
basándose en un enfoque de investigación aplicada.
Por lo tanto, el empleo de herramientas tecnológicas requiere que el docente asegure que sus
clases sean participativas, dinámicas y atractivas. Esto es relevante al enseñar a una generación
nativa digital, con dominio natural de la tecnología, tras nacer y crecer en dispositivos digitales y
recursos tecnológicos. La integración efectiva de estas herramientas en el aula no solo fomenta
el aprendizaje activo, sino que también responde a las expectativas y necesidades de estudiantes
habituados a interactuar con tecnología desde una edad temprana (Jiménez y Jiménez, 2017).
En la maestría en Educación Matemática y en otras carreras de la Universidad Técnica Particular
de Loja, se buscan nuevas estrategias de enseñanza y aprendizaje que propicien la obtención de
mejores resultados y permitan incrementar el pensamiento crítico indispensable en los educandos,
lo que constituye un reto permanente para el docente buscando metodologías que contemplen el
uso de las TIC en sus clases.
En la asignatura de Análisis Geométrico y Trigonométrico, los tópicos son muy relevantes y
complejos por lo extenso de sus contenidos matemáticos. Esto se hace evidente en la integral
doble cuando se trata de representar algebraica y geométricamente determinados conceptos,
especialmente cuando se aborda el estudio de regiones planas. Por esta razón, este trabajo
plantea el uso del Software GeoGebra en la didáctica y comprensión de la integral doble, en el
análisis geométrico del cálculo de áreas de regiones planas de Tipo I y de Tipo II.
1.1. Conceptos Matemáticos Fundamentales de las Integrales Dobles
Antes de introducir la herramienta tecnológica de GeoGebra en la enseñanza de las integrales
dobles, es esencial establecer una base sólida en los conceptos matemáticos fundamentales que
subyacen a este tema. A continuación, se presentan los conceptos clave que los estudiantes deben
comprender para abordar las integrales dobles de manera efectiva.
1.1.1. Denición de Integral Doble
Una integral doble se utiliza para calcular el volumen bajo una supercie en un espacio
tridimensional. Se dene como la extensión de la integral simple a funciones de dos variables.
Matemáticamente, la integral doble de una función
sobre una regiónRen el plano se expresa
como:
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donde representa un elemento de área en la regiónR. Esta integral se puede interpretar como la
suma de innitas contribuciones de
en cada punto de la regiónR.
No obstante, este estudio se centrará únicamente en el cálculo de áreas de regiones planas, es
decir, integrales dobles sin función , que se calculan de la siguiente forma:
1.1.2. Regiones de Integración
Las integrales dobles se pueden calcular sobre diferentes tipos de regiones en el plano, que se
clasican generalmente en dos tipos:
• Regiones de Tipo I: Estas son regiones que se pueden describir como el área entre dos
curvas en el planoxy. Se integran primero respecto ayy luego respecto ax.
Este tipo de regiones se ilustra en la gura 1
Figura 1
Región Tipo I
Nota: Elaboración Propia
• Regiones de Tipo II: Estas son áreas que se pueden describir como el área entre dos líneas
horizontales. Se integran primero respecto axy luego respecto ay.
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Este tipo de regiones de tipo II se ilustra en la gura 2
Figura 2
Región Tipo II
Nota: Elaboración Propia
La correcta identicación de la región de integración es crucial para establecer los límites de
integración en el cálculo áreas a través de integrales dobles.
1.2.3. Interpretación Geométrica
Es fundamental que los estudiantes comprendan la interpretación geométrica de las integrales
dobles. Esto incluye visualizar cómo una integral sin argumento
representa el área
de la regiónR. La comprensión de esta relación entre el álgebra y la geometría es clave para el
aprendizaje efectivo de las integrales dobles. Por ello, se han desarrollado applets especícos
para calcular áreas en regiones de tipo I y tipo II, para que los estudiantes puedan visualizar
dinámicamente las regiones y obtener el valor de ellas. Estos applets se muestran en las guras 3 y
4, y pueden ser accedidos a través del siguiente enlace:
https://utpl-my.sharepoint.com/:f:/g/personal/rlluna_utpl_edu_ec/Ej2jHFTanw5Aqi1J2Jz0LnoBd5r
b1PZmjwDlmZukhp3-2Q?e=KS1iLL
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Figura 3
Área mediante integral doble de una región tipo I
Nota: Elaboración Propia
Figura 4
Área mediante integral doble de una región tipo II
Nota: Elaboración Propia
Metodología
En este trabajo de investigación se ha optado por el paradigma positivista, pues este da una
clara separación entre el investigador, entendido como un sujeto neutral, y el trabajo de estudio,
independiente de la subjetividad del investigador (Miranda y Ortiz, 2020).
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La investigación fue de tipo cuantitativo, dado que se emplearon variables para medir los
resultados de manera numérica.
El alcance de la investigación fue descriptivo correlacional. Fue Descriptivo porque se enfocó en
precisar las características de la población bajo estudio (Guevara et al., 2020), mientras que fue
correlacional porque se buscó medir o recolectar información respecto a las variables de estudio
(GeoGebra y aprendizaje de los estudiantes) para después determinar la incidencia o relación que
existe de una variable con respecto a la otra dentro de la muestra (Hernández et al., 2014).
Se optó por un diseño de investigación cuasiexperimental, por centrarse en analizar la causalidad
entre la variable independiente (uso de GeoGebra) y la variable dependiente (aprendizaje de los
estudiantes) (Valmi et al., 2007).
Otro motivo para seleccionar un diseño cuasiexperimental fue que la asignación de los estudiantes
a los grupos de estudio no se realizó de manera aleatoria, ya que los dos cursos utilizados como
grupo experimental y de control habían sido previamente determinados por la Universidad Técnica
Particular de Loja (Zurita et al., 2018).
2.1. Objetivo
Determinar el impacto que genera la enseñanza de áreas con Integrales Dobles mediante
el software GeoGebra en los estudiantes que cursan la asignatura de Análisis Geométrico
y Trigonométrico de la maestría en educación mención enseñanza de la matemática de la
Universidad Técnica Particular de Loja (UTPL).
2.2. Población y Muestra
En la Maestría en Educación Mención Enseñanza de la matemática de la UTPL, la población total
en Análisis Geométrico y Trigonométrico son 70 estudiantes distribuidos en dos paralelos de 35
estudiantes cada uno. Así se eligió un paralelo como grupo experimental, al que se le aplicó las
clases con GeoGebra y al otro se consideró grupo de control, lo que permitió comparar si existe un
impacto en la enseñanza del objeto matemático mediante el Software GeoGebra.
2.3. Instrumento
La técnica y el instrumento utilizados en esta investigación, tras haber enseñado el objeto
matemático en varias sesiones de clase, consistieron en la aplicación de una encuesta mediante
un cuestionario, dirigido tanto al grupo experimental como al grupo de control. Esto permitió
obtener las puntuaciones de cada estudiante para su posterior análisis estadístico.
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2.4. Procedimiento de recogida y análisis de datos
Por la naturaleza de esta investigación y su diseño, hubo que usar herramientas estadísticas que
permitieran procesar y analizar los datos e interpretar los resultados para responder al objetivo
planteado.
Tras la recolección de los datos mediante el instrumento de esta investigación, los valores fueron
organizados en tablas de Excel y luego transferidos al software SPSS (Statistical Package for the
Social Sciences). Según Purwanto etal. (2021), SPSS es uno de los programas más utilizados en la
investigación cuantitativa, ya que facilita a los investigadores la organización y análisis preciso de
grandes volúmenes de datos.
Resultados
Se implementó varias sesiones de clases de áreas con integrales dobles mediante una clase
tradicional al grupo de control y mediante una representación geométrica dinámica a través de
applets, elaborados con GeoGebra, al grupo experimental.
En los applets mostrados en las guras 3 y 4, los estudiantes ingresan los valores de las funciones
y el intervalo que conforman a la región y como respuesta se muestra la gráca de la región y el
valor de su área. Estos applets convirtieron el registro algebraico al gráco, poniendo en práctica
así la teoría de registros de representaciones semióticas de Duval.
Esto permitió que los estudiantes del grupo experimental puedan comprobar si sus grácas
elaboradas a mano son correctas, así como vericar el resultado de laintegraldoble.
En la gura 3 se muestra el taller de un estudiante de la última clase en donde realiza el cálculo de
un área con integral doble a mano y su comprobaciónconGeoGebra.
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Figura 5
Taller elaborado por un estudiante del grupo experimental
Nota: Elaboración Propia
La elaboración de los talleres de la última clase por parte de los estudiantes del grupo experimental
de la maestría en educación matemática se muestra en el siguiente enlace:
https://utpl-my.sharepoint.com/:f:/r/personal/rlluna_utpl_edu_ec/Documents/Taller%20Area%20
de%20Regiones?csf=1&web=1&e=jD0L0E
Una vez implementadas las clases, se evaluó a los estudiantes con un cuestionario de 10 puntos,
según el criterio de la tabla 1. Estos resultados se presentanen la gura 6:
Tabla 1
Criterio de evaluación de estudiantes
Llevaron a cabo de manera adecuada la coordinación de
registros, prepararon correctamente los límites de inte-
gración de la región en el plano y resolvieron la integral.
Sin cometer errores en los cálculos algebraicos.
Con imprecisiones en los cálculos algebraicos.
Coordinaron correctamente los registros, pero únicamen-
te en los límites de integración de la región en el plano.
Sin cometer errores en los cálculos algebraicos
Con imprecisiones en los cálculos algebraicos.
Nota: Elaboración Propia
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Figura 6
Resultados evaluación del grupo experimental-control
Nota: Elaboración Propia
Mediante este gráco comparativo se aprecia que los resultados que se obtuvieron en la
evaluación en el grupo experimental son mejores que en el grupo de control, ya que hay un menor
porcentaje de alumnos con calicaciones inferiores o iguales a 4 en el grupo experimental que
en el grupo de control, y hay un mayor porcentaje de calicaciones superiores o iguales a 7 en el
grupo experimental con respecto al grupo de control, es decir, un 22,86% en el grupo experimental
frente a un 14,29% de alumnos del grupo de control que obtuvieron calicaciones entre 7 y 8,99, y
un 14,29% del grupo experimental frente a un 0% del grupo de control con calicaciones entre 9 y
10, lo que da una diferencia total de 22,86% de alumnos con calicaciones superiores o iguales a 7
en el grupo experimental que en el grupo de control.
Aunque los resultados del grupo experimental son mejores que los del control, es necesario conocer si
existe una incidencia del uso de GeoGebra en el rendimiento académico de los estudiantes de la Maestría en
Educación Mención Enseñanza de las Matemáticas, por lo que se hizo una prueba estadística para determinar si
hay una diferencia signicativa entre las medias del grupo experimental y el grupo de control.
Primero se aplicó la prueba de normalidad tanto al grupo experimental como al grupo de control. Estos
resultados se muestran en la siguiente tabla.
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Tabla 2
Prueba de normalidad en los resultados obtenidos de la muestra
Kolmogorov-Smirnov Shapiro-Wilk
Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.
Resultados Sin GeoGebra ,150 35 ,044 ,945 35 ,081
Resultados con GeoGebra ,123 35 ,199 ,946 35 ,084
Nota: Elaboración Propia
Se consideró la prueba de Shapiro-Wilk debido a que el número de estudiantes de cada grupo es
menor a 50 y se tomó como base una signicancia de 0,05, esto es, una conanza del 95%. Los
p-valores mostrados en la tabla 1 correspondientes a los resultados sin GeoGebra (grupo control)
y con GeoGebra (grupo experimental) son 0,081 y 0,084 respectivamente, lo cual indica que ambos
superan el valor de 0,05 de la signicancia; es decir que las notas de ambos grupos poseen una
distribución normal (Hernández y Mendoza, 2018).
Una vez que las calicaciones pasaron la prueba de normalidad se procedió a realizar la prueba
estadística paramétrica t de Student para muestras independientes, la cual se muestra en la
siguiente tabla.
Tabla 3
Prueba T para la igualdad de medias en el resultado de la evaluación de los estudiantes
Prueba de Levene para la
igualdad de varianzas
Prueba T para la igualdad de medias
F Sig. t gl Sig. (bilate-
ral)
Calicación Se han asumido varianzas
iguales
,285 ,595 -3,814 68 ,000
No se han asumido varian-
zas iguales
-3,814 67,476 ,000
Nota: Elaboración Propia
En la tabla 2 se observa que en la prueba de Levene para la igualdad de varianzas se tiene que p =
0,595 >= 0,05; lo cual indica que las varianzas de los grupos son iguales. Por lo tanto, los grupos
control y experimental son homogéneos.
Del mismo modo que en la prueba de normalidad y de Levene, se consideró un intervalo de
conanza del 95%, lo que equivale a una signicancia de 0,05. Así, el resultado de la prueba t
de Student entre estos dos grupos de estudio arrojó una signicancia bilateral de 0,000, siendo
éste un valor inferior a 0,05, lo cual evidencia matemáticamente que el uso de GeoGebra para
la enseñanza del cálculo de áreas con integrales dobles mejora de manera signicativa el
rendimiento académico de los estudiantes de la maestría en educación, mención en enseñanza de
la matemática.
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Discusión y conclusiones
Los resultados superiores del grupo experimental en comparación con el grupo de control, según
Arteaga et al. (2019), se deben a que GeoGebra es una herramienta de gran valor en el proceso
de enseñanza-aprendizaje de matemáticas y disciplinas relacionadas. GeoGebra facilita la
resolución rápida de problemas matemáticos durante el aprendizaje, estimula la creatividad de los
estudiantes, permitiéndoles explorar y construir los fundamentos esenciales para una comprensión
profunda de cualquier concepto matemático.
Sin embargo, existe un bajo porcentaje de estudiantes que aún no dominan el objeto matemático
en estudio y su respectiva representación gráca, esto según Borja et al.(2021) se debe a que
existen factores adicionales que inciden en el rendimiento académico de los estudiantes a nivel
universitario, siendo los principales: las posibilidades económicas, los problemas con el uso de las
nuevas tecnologías, la escasa formación a nivel de bachillerato y pregrado y el número de horas
dedicadas a su estudio.
En este trabajo de investigación se demuestra que la aplicación de GeoGebra para enseñar el
cálculo de áreas con integrales dobles dio resultados positivos a nivel general; se determina que
el uso de este programa inuye signicativamente en el rendimiento académico de los alumnos
participantes en este estudio. Esto se evidencia, sobre todo, al ver que en el grupo control las
calicaciones de los estudiantes fueron menores o iguales a 4 en un 60%, mientras que en el grupo
experimental solo en un 25.71 %.
Aunque el tiempo de aplicación de GeoGebra fue limitado por la naturaleza transversal del estudio,
su utilidad quedó claramente demostrada. Esto sugiere que, al aumentar el tiempo y la frecuencia
de uso del software, es probable obtener resultados aún más signicativos.
Finalmente, tras el análisis realizado, se concluye que la enseñanza del cálculo de áreas con
Integrales Dobles usando el software GeoGebra mejora el rendimiento académico y por ende la
comprensión de los estudiantes, por lo que se constata que esa herramienta tecnológica es una
alternativa válida para mejorar el rendimiento académico de los universitarios de la maestría en
educación mención enseñanza de la matemática.
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REVISTA CIENTÍFICA UISRAEL
QUITO-ECUADOR
2025
Copyright (2025) © Marco Antonio Ayala Chauvin, Richard Leonardo Luna Romero
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