Estimación de parámetros eléctricos transitorios de un
transformador utilizando ajuste de curvas con
optimización no lineal
Víctor Hugo Tibanlombo Timbila
1
Escuela Politécnica Nacional, Ecuador
victor.tibanlombo@epn.edu.ec
https://orcid.org/0000-0001-9463-7587
Andrés Alfredo Guevara Betancourt
2
Escuela Politécnica Nacional, Ecuador
andres.guevara@epn.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-2657-6441
Juan David Ramírez Guasgua
3
Escuela Politécnica Nacional, Ecuador
juan.ramirezd@epn.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-9855-9835
Resumen
Este estudio plantea una alternativa de consecución de los parámetros eléctricos en
modelos de transformadores trifásicos mediante registros obtenidos con lecturas de
aparatos de medición en sistemas de protección y monitoreo asociados al transformador
eléctrico. El posible uso de este procedimiento se focaliza en la estimación del modelo
eléctrico en transformadores trifásicos durante su operación y funcionamiento en un
sistema eléctrico y su respuesta frente a eventos transitorios. Esta propuesta permitirá
aminorar recursos y uso de tiempo en comparación con metodologías existentes; puesto
que, éstas usualmente necesitan que el transformador este fuera de servicio para la
conexión de equipo especializado de alto costo, siendo muchas veces necesario trasladar
el transformador a un laboratorio especializado.
Los trabajos existentes proporcionan modelos completos del transformador para
simulación de eventos transitorios, estos se usaron como datos de partida para sintonizar
los parámetros en MATLAB-SIMULINK. Evaluada la efectividad y confiabilidad del
estudio, éste será de gran ayuda en la determinación de parámetros eléctricos
transitorios en transformadores nuevos o con un tiempo considerable de
funcionamiento, pues debido al uso del equipo y las condiciones de operación, los
parámetros eléctricos pueden variar con respecto a sus registros de fábrica.
Palabras clave: transformador, alta frecuencia, función de transferencia, parámetros
eléctricos transitorios.
Abstract
This study proposes an alternative to obtain the electrical parameters in three-phase
transformer models by means of records obtained with readings from measuring devices
in protection and monitoring systems associated with the electrical transformer. The
possible use of this procedure focuses on the estimation of the electrical model in three-
phase transformers during their operation and functioning in an electrical system and
their response to transient events. This proposal will reduce resources and time use in
comparison with existing methodologies, since these usually require the transformer to
be out of service for the connection of high-cost specialized equipment, being often
necessary to move the transformer to a specialized laboratory.
Existing works provide complete transformer models for simulation of transient events,
these were used as starting data to tune the parameters in MATLAB-SIMULINK.
Evaluated the effectiveness and reliability of the study, it will be of great help in the
determination of transient electrical parameters in new transformers or with a
considerable time of operation, because due to the use of the equipment and the
operating conditions, the electrical parameters may vary with respect to their factory
records.
Keywords: transformer, high voltage, transfer function, electric transient parameters.
Introducción
Los trasformadores eléctricos han ejercido un papel fundamental en la evolución de los
sistemas eléctricos de potencia y distribución. Al operar ininterrumpidamente, estos
están expuestos a diferentes eventos o anomalías que pueden afectar su desempeño y
vida útil, dentro de estos eventos se pueden nombrar a los eventos transitorios.
Los que se presentan en los sistemas eléctricos se encuentran en el rango de 0.1 Hz
hasta alrededor de 50 MHz, es decir, hay eventos de baja, media y alta frecuencia
(Galván, 2012), las ondas de alta frecuencia generalmente se generan por la incidencia
de eventos atmosféricos en algún punto del sistema, y son transferidas a través de las
líneas de transporte de energía, pudiendo alcanzar a equipos vitales en la transmisión y
distribución de energía eléctrica como los transformadores (Abed, N.Y et al, 2010).
Por ello, es importante conocer el comportamiento de los transformadores mediante
estudios y simulaciones de sobrevoltajes en redes eléctricas, por lo que la representación
o modelación es un hito importante para la finalidad de estos estudios. Generalmente los
parámetros en los modelos transitorios no son provistos en la documentación general de
los equipos, y para su obtención se necesita realizar una serie de pruebas con equipos y
elementos de medida especializados, que, según su precisión, proporcionarán unos
valores con errores máximos permitidos. También, se debe considerar el alto costo
generado por realizar estas pruebas en laboratorios especializados, pues los equipos de
medida pueden variar sus lecturas de acuerdo a las condiciones climáticas y geográficas
de la instalación (NMX-J-169-ANCE, 2004).
Como solución a esta problemática, se propone evaluar el performance de un
transformador frente a un evento transitorio, simulando una descarga atmosférica en un
laboratorio de alto voltaje. El evento se encuentra en el rango de las altas frecuencias
desde los 10 kHz hasta los 3 MHz (Galván, 2012). Se busca obtener los datos medidos
de entrada y salida en el transformador bajo prueba y posteriormente determinar los
parámetros eléctricos transitorios mediante la modelación del transformador en
MATLAB-SIMULINK y el uso de herramientas para ajuste de curvas con optimización
no lineal.
Metodología
A partir de esta sección se detalla el proceso desarrollado para conseguir el objetivo de
este artículo que es el de encontrar los parámetros eléctricos transitorios de un
transformador.
2.1 Modelo de transformador de alta frecuencia utilizado
Para este estudio se utilizó un modelo Black-Box (Mork et al., 2007) para calcular los
parámetros del transformador, para ello se ingresa la señal por el lado de alto voltaje
obteniendo una curva de respuesta en el lado secundario o de bajo voltaje. Con el
software MATLAB-SIMULINK y la herramienta System Identification Toolbox
podemos resolver las ecuaciones que representan al modelo, esto mediante las curvas
antes mencionadas, pudiendo así sintonizar los parámetros eléctricos.
El modelo Black-Box del transformador en alta frecuencia Two-Port de Biernacki y
Czarkowski (2001) se utilizó en el presente estudio, pues este modelo es utilizado en
varios estudios publicados en la IEEE, además de ser sencillo de entender, como se
puede observar en la Figura 1, este modelo nos sirve en la metodología presentada,
pues se pueden representar los parámetros eléctricos de un transformador trifásico en su
modelo T por fase equivalente
.
Figura 1. Modelo matemático de transformador utilizado para la simulación en MATLAB-SIMULINK.
Fuente: Matlab-Simulink
De la Figura 1:
𝐶
1
Capacitor entre devanado primario y tierra.
𝐶
2
Capacitor entre devanado secundario a tierra.
𝐶
12
Capacitor entre devanados.
𝐶
13
𝐶
11
Divisor capacitivo
𝐿
1
,𝐿
2
Inductancia del devanado primario y secundario.
𝑅
1
,𝑅
2
Resistencia del devanado primario y secundario.
𝐿
𝑀
Inductancia de magnetización del núcleo.
𝑅
𝐹𝐸
Resistencia equivalente de pérdidas en el núcleo.
Las capacitancias C1, C2 y C12 se presentan cuando en el transformador circulan
magnitudes de voltaje y corriente con alta frecuencia; las capacitancias C13 y C11
representan un divisor capacitivo acoplado para medir la curva de salida o respuesta en
el lado de bajo voltaje del transformador y poder visualizar la misma en un osciloscopio
digital.
2.2 Simulación de descarga atmosférica
En la Figura 2 se observan los elementos y su distribución para la generación de
impulsos estándar que representen una descarga atmosférica en el laboratorio de alto
voltaje.
Figura 2. Arreglo de generador de impulsos de alto voltaje
Fuente: Tibanlombo (2018)
De acuerdo a la Figura 2, se utilizó un generador de impulsos que produce ondas de
voltaje de frente rápido normalizadas según la IEC 60060-1, el circuito genera ondas
como la de la Figura 4. Esta señal de impulso ingresa por el lado de alto voltaje al
transformador y su respuesta se obtiene en su lado secundario, ambas señales son
medidas mediante el canal del osciloscopio, esto se puede ver en la Figura 3.
Figura 3. Arreglo de conexión de los canales del osciloscopio
Fuente: elaboración propia
TRANSFORMADOR TRIFÁSICO
Marca
ELIN
Año
1965
Tipo
OD 51/10
N° serie
1077117
Frecuencia
60
Hz
Conexión
DY5
Potencia
50
kVA
Impedancia
3.95
%
Primario
Secundario
1
6300
V
4.82
A
231.133
V
125.2
A
2
6150
3
6000
4
5700
R1
8.87 Ω
R2P
8.87 Ω
R2
13.11 mΩ
RFE
360 kΩ
L1
34.06 mH
L2P
34.06 mH
L2
50.38 uH
LM
90.21 H
R2P, L2P son parámetros referidos al
lado primario
Figura 4. Forma de onda del impulso generado según IEC60-1.
Fuente: elaboración propia.
2.3 Estimación de parámetros forma tradicional
Para iniciar la estimación se requieren los parámetros base o de partida. Los parámetros
de la Tabla 1 fueron calculados a partir de las pruebas de cortocircuito y circuito abierto
practicadas al transformador de 50 kVA acorde a la norma IEEE Std C57.12.90.
Tabla 1.
Parámetros Calculados
Fuente: elaboración propia
Además de los datos obtenidos mediante pruebas estándar, se tiene de referencia la
placa del transformador de 50 kVA que muestra los valores de fábrica del mismo, esto
se observa en la Tabla 2.
Tabla 2.
Datos de Placa
Fuente: Tibanlombo (2018)
2.4 Estimación de capacitancias
𝑉
𝑉
=
𝐿𝐶 𝐿
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
1
𝐿𝐶 𝐿
2
𝑤
11𝑅1𝑅
𝑤𝑤𝑤
Para estimar las capacitancias iniciales se les calculó en base al modelo de Moziful para
bajas frecuencias expuesto en la Figura 5 y con su función de transferencia
correspondiente empleando la ecuación (1) y también el modelo para medias
frecuencias de la Figura 6 y su función de transferencia que se describe en la ecuación
(2), las cuales se exponen a continuación (Moziful et al., 1997):
Figura 5. Modelo en baja frecuencia equivalente de Moziful.
Fuente: Moziful et al (1997)
1
𝑠
𝐶
2
𝐿
𝑤
𝑝
𝑠
2
+ 𝑠
𝑅
𝑤
+
1
𝑤
2
𝑤
Función de Transferencia en baja frecuencia del modelo de Moziful.
(1)
Donde:
𝑆
Voltaje de secundario o de bajo voltaje.
𝑝
Voltaje de primario o de alto voltaje.
𝐶
2
Capacitor entre devanado secundario a tierra.
𝑅
𝑤
Resistencia del devanado.
𝐿
𝑤
Inductancia del devanado.
𝑅
Resistencia del núcleo.
𝐿
Inductancia del núcleo.
Figura 6. Modelo de Moziful equivalente para el transformador de media frecuencia.
Fuente: Moziful et al (1997)
𝑠
=
𝑝
𝑠
𝐶
2
𝐿
𝑤
𝑠
3
+ 𝑠
2
(
𝑅
𝑤
+
𝐶
2
𝑅
´
)
+ 𝑠
(
+
𝐶
2
𝑅
´𝐿
𝑤
+
𝐿
´𝐶
2
)
+
(
𝐶
2
𝐿
𝑤
𝐿
´
)
(2)
Función de Transferencia del modelo en media frecuencia de Moziful
𝑉
𝑉
Capacitancias
Estimación inicial con las
funciones de transferencia
C1
7.15 uF
C2
7.08 uF
C12
4.02 uF
Donde:
𝑆
Voltaje de secundario o de bajo voltaje.
𝑝
Voltaje de primario o de alto voltaje.
𝐶
2
Capacitor entre devanado secundario a tierra.
𝑅
𝑤
Resistencia del devanado.
𝐿
𝑤
Inductancia del devanado.
𝑅
Resistencia del núcleo.
𝐿
Inductancia del núcleo.
Con la herramienta System Identification Toolbox (Ident) de MATLAB-SIMULINK se
procedió a resolver las funciones de transferencia y así poder obtener los valores de las
capacitancias iniciales de la Tabla 3.
Tabla 3.
Capacitancias Estimadas en MATLAB-SIMULINK
Fuente: elaboración propia
2.5 Estimación de parámetros en MATLAB-SIMULINK
Obtenidos todos los valores iniciales para realizar la estimación de parámetros se
procede a ingresar todos los datos en SIMULINK para poder obtener los valores y
curvas de voltaje simuladas. En la Figura 7 se puede observar el circuito en el entorno
de trabajo de SIMULINK y en la Figura 8 se aprecia el resultado de las curvas
simuladas y experimentales realizadas.
Figura 7. Modelo utilizado en la simulación de MATLAB-SIMULINK
Fuente: elaboración propia
Figura 8. Curvas de voltaje obtenidas a la salida del transformador (Curva azul-forma experimental vs Curva
roja-Simulación) utilizado en la simulación de MATLAB-SIMULINK
Fuente: elaboración propia
Se emplea la herramienta System Identification Toolbox para la estimación o
sintonización de parámetros del modelo, esta herramienta está incluida en MATLAB-
SIMULINK; se seleccionaron las curvas a comparar y los parámetros a sintonizar, en la
Figura 9 se observa una captura de la interfaz del programa, el uso de esta herramienta
se puede encontrar a detalle en la referencia citada (Chiguano, 2018).
Figura 9. Estimación parámetros eléctricos transformador 50kVA en MATLAB-SIMULINK
Fuente: elaboración propia
La optimización de parámetros consiste en obtener una función objetivo o función del
costo, la cual calcula una diferencia entre la respuesta simulada y la respuesta medida
del transformador, esto mediante la variación de las variables de diseño del modelo que
en este trabajo serían los parámetros del modelo utilizado (MathWorks, 2019).
La formulación en el proceso de optimización con la herramienta de Simulink depende
del método que se desee utilizar. Los métodos de optimización no lineales minimizan la
función objetivo, es decir, minimizan la diferencia entre las curvas medidas y las
simuladas, variando los parámetros de su modelo.
Los métodos que se pueden utilizar son: búsqueda simple y patrones de búsqueda; con
los algoritmos de Levenberg-Marquadt, punto interior, conjunto activo, región de
confianza reflexiva, Programación Cuadrática Secuencial (SQP); mínimos cuadrados no
lineales, gradiente descendente (Chiguano, 2018)
.
A continuación, en la Figura 10 se presenta un diagrama de flujo como resumen de la
metodología descrita:
Figura 10. Diagrama de flujo de la metodología.
Fuente: elaboración propia
Resultados
Los resultados finales y valores iniciales fueron comparados mediante el cálculo del
error relativo porcentual para observar la diferencia entre los valores obtenidos en
simulación con los valores calculados con las pruebas estándar de cortocircuito y
circuito abierto al transformador.
Una vez que la herramienta optimiza los parámetros se obtiene una curva aproximada.
En la Figura 11 se presentan las curvas medida y estimada luego de la estimación de
parámetros.
Figura 11. Curvas resultantes luego de la estimación de parámetros en MATLAB-SIMULINK
Fuente: elaboración propia
En la Tabla 4 se presentan los valores iniciales comparados con los valores estimados
por MATLAB-SIMULINK, se observa que el error relativo porcentual entre los
parámetros estimados y los parámetros medidos referenciales están alrededor del 20%
en sus valores más elevados, estos resultados serían aceptables pues son valores
pequeños, se debe tomar en cuenta también que un transformador opera continuamente
en una red eléctrica, por lo que se puede presentar un deterioro no solamente en
parámetros eléctricos, sino también en parámetros físicos como es el aislamiento que
protege a los devanados y que inciden en el valor de las capacitancias que se presentan
en el modelo.
La estimación se realizó por todos los métodos disponibles en la herramienta estimador
de parámetros de MATLAB-SIMULINK, siendo el mejor método Levenberg-Marquardt
pues los resultados presentan un error relativo porcentual menor con respecto a los
demás métodos computacionales, por otra parte, el método con una variación más alta en
el cálculo del error porcentual fue el método Simplex Search, esto se puede apreciar en la
Figura 12.
Método
Simplex Search
Método
Conjunto Activo
Método
SQP
Parámetros
Cálculados
Estimado
Error
RP
%
Estimado
Error
RP
%
Estimado
Error
RP
%
R
1
8.87 Ω
10.59 Ω
16.27%
10.63 Ω
16.54%
9.87 Ω
10.12%
R
2P
8.87 Ω
11.15 Ω
20.47%
10.51 Ω
15.60%
9.99 Ω
11.22%
R
FE
360 kΩ
405 kΩ
11.18%
407 kΩ
11.47%
397 kΩ
9.21%
L
1
34.06
mH
34.57 mH
1.48%
35.25 mH
3.37%
37.08 mH
8.14%
L
2P
34.06
mH
41.70 mH
18.32%
33.48 mH
1.74%
37.60 mH
9.42%
L
M
90.21 H
95.33 H
5.37%
98.38 H
8.30%
95.49 H
5.53%
C
1
7.15 uF
7.88 uF
9.30%
7.69 uF
7.06%
7.79 uF
8.16%
C
2
7.08 uF
7.86 uF
9.91%
7.55 uF
6.25%
7.73 uF
8.42%
C
12
4.02 uF
4.28 uF
6.05%
4.34 uF
7.42%
4.20 uF
4.29%
Método
Trust Region Reflective
Método
Levenberg-Marquardt
Método
Pattern Search
Parámetros
Cálculados
Estimado
Error
RP
%
Estimado
Error
RP
%
Estimado
Error
RP
%
R
1
8.87 Ω
9.70 Ω
8.57%
9.75 Ω
9.05%
10.74 Ω
17.39%
R
2P
8.87 Ω
10.30 Ω
13.90%
9.90 Ω
10.43%
10.90 Ω
18.60%
R
FE
360 kΩ
385 kΩ
6.38%
373 kΩ
3.56%
392 kΩ
8.26%
L
1
34.06
mH
36.84 mH
7.54%
36.90 mH
7.71%
37.08 mH
8.16%
L
2P
34.06
mH
37.51 mH
9.21%
34.86 mH
2.29%
39.12 mH
12.94%
L
M
90.21 H
98.30 H
8.23%
93.67 H
3.69%
99.79 H
9.60%
C
1
7.15 uF
7.46 uF
4.16%
7.29 uF
1.98%
7.54 uF
5.23%
C
2
7.08 uF
7.25 uF
2.33%
7.32 uF
3.25%
7.65 uF
7.42%
C
12
4.02 uF
4.28 uF
6.15%
4.21 uF
4.46%
4.23 uF
4.94%
Tabla 4.
Parámetros resultantes promediados de todos los métodos de estimación
Fuente: elaboración propia
Figura 12. Error relativo porcentual entre los parámetros calculados y estimado por los diferentes métodos de
estimación
Fuente: elaboración propia
Conclusiones
La estimación o sintonización de parámetros mediante señales de entrada y respuesta
ante eventos transitorios es una buena alternativa a cálculos tradicionales mediante
pruebas estándar; sin embargo, cuando se trabaja en altas frecuencias se presentan
capacitancias parásitas en el equipo, lo cual puede ser una limitante para obtener un
correcto resultado, pese a esto, en el presente trabajo se cumplió con el objetivo de
estimar los parámetros del modelo, teniendo una diferencia porcentual con valores
máximos de alrededor del 20% como se menciona en la sección de resultados.
Las herramientas que presenta el software MATLAB-SIMULINK son de gran ayuda en
la resolución de modelos matemáticos y ecuaciones diferenciales, en este estudio
permitió conseguir la sintonización de los parámetros eléctricos transitorios del
transformador de 50 kVA, datos que generalmente para su obtención sería necesario el
uso de equipos especializados y un uso del tiempo considerable.
Los resultados con menor error porcentual fueron los obtenidos mediante el método
Levenberg-Marquardt como se presentaron en la Tabla 4 y en la Figura 12, por lo cual
es el método recomendado para obtener los mejores resultados.
Referencias
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Biernacki, J., Czarkowski, D. (2001). High frequency transformer modeling. In ISCAS
2001 - 2001 IEEE International Symposium on Circuits and Systems, The 2001 IEEE
International Symposium on Circuits and Systems (Cat. No. 01CH37196), (Vol. 3, pp.
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https://doi.org/10.1109/ISCAS.2001.921401
Chiguano, B., Ramírez, J., Quilumba, F., & Gallardo, C. (2018). Estimación de los
Parámetros Eléctricos de un Generador Sincrónico basada en Mediciones de
Laboratorio usando Métodos de Optimización No Lineal. Revista Técnica Energía.
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https://doi.org/10.37116/revistaenergia.v15.n1.2018.321
Galván, V., Gutiérrez, J., Ortiz, V., Sánchez, R. (2012). Modelado del transformador
para eventos de alta frecuencia. Ingeniería Energética, 33(2), 122-132.
http://scielo.sld.cu/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1815-
59012012000200005&lng=es&tlng=es
Xexplore, I. (2015). C57.12.00-2015 - IEEE Standard for General Requirements for
Liquid-Immersed Distribution, Power, and Regulating Transformers. IEEE
https://doi.org/10.1109/IEEESTD.2016.7469278
MathWorks. (2019). How the Software Formulates Parameter Estimation as an
Optimization Problem—MATLAB & Simulink—MathWorks América Latina.
https://la.mathworks.com/help/sldo/ug/optimization-problemformulation-for-parameter-
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Mork, B. A., Gonzalez, F., Ishchenko, D., Stuehm, D. L., & Mitra, J. (2007). Hybrid
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https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/643049
NMX-J-169-ANCE-2004. (2004). Transformadores y Autotransformadores de
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Tibanlombo, V. (2018). Estudio de la respuesta en frecuencia mediante pruebas de
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http://bibdigital.epn.edu.ec/handle/15000/19719
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